دانشگاه آزاد اسلامي
واحد علوم و تحقيقات
رساله دكتري رشته رياضي محض (Ph.D)
موضوع:
تشخيص‌پذيري و k- تشخيص‌پذيري بعضي از گروههاي متناهي با استفاده از دو روش، مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه و تعداد سيلو زيرگروههاي يك گروه با مركز بديهي
استادان راهنما:
دكتر علي ايرانمنش
دكتر ابوالفضل تهرانيان
استاد مشاور:
دكتر حميدرضا ميمني
نگارنده:
عليرضا خليلي اسبوئي
سال تحصيلي1391-1390
تقدير و تشكر
حمد و سپاس خداوند بزرگ را كه عالم مطلق است و نعمت آموختن را به ما ارزاني داشته است. در به انجام رساندن اين تحقيق انسانهاي والايي مرا ياري كردند كه در اينجا وظيفه خود مي‌دانم تا حد امكان از يكايك اين عزيزان قدرداني نمايم.
از استاد ارجمند، جناب آقاي دكتر علي ايرانمنش به جهت زحمات بي‌دريغشان كمال تشكر را دارم. بدون شك، اگر همراهي ايشان نبود انجام اين تحقيق ميسر نمي‌شد.
از استاد گرامي، جناب آقاي دكتر ابوالفضل تهرانيان به خاطر راهنمايي‌هاي ارزشمندشان مراتب قدرداني خود را ابزار مي‌دارم.
از استاد مشاور بزرگوار جناب آقاي دكتر حميدرضا ميمني كه مشاوره رساله را بر عهده داشتند كمال تشكر و سپاس را دارم.
از داوران محترم جناب آقاي دکتر شعبان علي صفري، جناب آقاي دکتر حسين دوستي و سرکار خانم ندا آهنجيده كه با صرف وقت، رساله را مورد مطالعه قرار داده و نواقص احتمالي را گوشزد كرده‌اند، سپاس‌گزاري مي‌نمايم.

چكيده
فرض كنيد G يك گروه باشد اگر مجموعه تمام مرتبه هاي عناصرگروه G را با نماد نشان دهيم آنگاه مجموعه تمام عناصر هم مرتبه G را که با نماد nse(G) نمايش مي دهند به صورت تعريف مي کنند. در اين رساله ابتدا نشان مي‌دهيم اگر جائيكه S گروه متناوب ساده ، يا گروههاي خطي طوري كه يا گروههاي متقارن طوري كه و يا گروههاي ساده ماتيو آن‌گاه G با S ايزومورف است. همچنين نشان مي‌دهيم اگر G گروهي متناهي با مركز بديهي باشد طوري كه تعداد سيلو زيرگروههاي آن به ازاي هر عدد اول با تعداد سيلو زيرگروههاي گروهاي خطي كه درآن برابر باشد آن‌گاه G بايد در شرط صدق كند.
پيش‌گفتار
پس از اين كه مهم‌ترين مسأله نظريه گروههاي متناهي يعني رده‌بندي گروههاي ساده متناهي در سال 1979 به اتمام رسيد، يكي از مسائل عمده مورد توجه دانشمندان اين رشته تشخيص‌پذيري يك گروه با يك ويژگي مشخص بوده است. يك گروه دلخواه G را با خاصيت M تشخيص‌پذير گوئيم، هر گاه گروه G تحت يكريختي تنها گروهي باشد كه در خاصيت M صدق مي‌كند. همچنين يك گروه دلخواه G را با خاصيت تشخيص‌پذير گوئيم، هرگاه تحت يكريختي k تا گروه متمايز پيدا شود كه در خاصيت M صدق كند. به عنوان مثال تشخيص‌پذيري با استفاده از گراف اول، تشخيص‌پذيري با استفاده از گراف جابجائي يا گراف ناجابجائي در گروه از اين دست مسائل هستند.
يكي ديگر از روش‌هاي تشخيص‌پذيري يك گروه، تشخيص‌پذيري با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه يك گروه است كه بطور ساده آن را با نماد nse نشان مي‌دهند. اين نوع تشخيص‌پذيري براي اولين بار توسط شي1 و همكارنشان در سال 2008 در مقاله‌اي تحت عنوان:
Characterization of Simple – groups
به صورت جدي مساله رده‌بندي گروه G با nse و مرتبه گروه را مورد مطالعه قرار دادند. در سال 2009 شن2 و همكارنشان مقاله‌ ديگري تحت عنوان:
A new characterization of
ارائه كردند كه در اين مقاله آنها فقط با استفاده از nse توانستند براي گروههاي ، و ثابت كنند كه تشخيص‌پذيرند. آنها همچنين سوال زير را مطرح كردند.
سوال: فرض کنيد به طوري که آن گاه آيا مي توان نتيجه گرفت ؟
در فصل دوم اين رساله ما نشان داده‌ايم كه گروههاي متناوب ساده ، با اين روش تشخيص‌پذيرند و نتايج حاصل از آن را در مقاله تحت عنوان:
A new Charaterization of ,
در سال 2011 در مجله
Anale Stintifice ale universitatii Ovidius Constanta
موفق به دريافت‌ پذيرش چاپ گرديد.
در سال 2009 خسروي و همكارنشان در مقاله‌اي تحت عنوان:
A new Charaterization for some linear groups
نشان دادن كه گروههاي براي با استفاده از nse تشخيص‌پذيرند. آنها در مقاله خود سوال زير را مطرح كردند.
سوال: فرض كنيد G يك گروه باشد به طوري كه جائيكه q تواني از يك عدد اول است. آيا گروه G با ايزومورف است؟
در ادامه فصل دوم اين رساله نشان داده‌ايم كه گروههاي خطي براي با اين روش تشخيص‌پذيرند و نتايج حاصل از آن را در مقاله‌اي تحت عنوان:
A new Charaterization of for some q
تدوين و براي داوري به يكي از مجلات معتبر علمي فرستاده شده است. همچنين در مقاله‌اي ديگر تحت عنوان:
A new charaterization of symmetric group for some n
كه براي داوري به يكي از مجلات معتبر علمي فرستاده شده نشان داده‌ايم كه گروههاي متقارن براي با nse تشخيص‌پذيرند كه نتايج حاصل از آن در فصل دوم اين رساله آمده است. در ادامه فصل دوم نشان داديم كه گروههاي ساده ماتيو هم با استفاده از تعداد عناصر هم مرتبه يك گروه تشخيص‌پذيرند و نتايج حاصل از آن را در مقاله‌اي تحت عنوان:
A Charaterization of Matheiu groups by NSE
تدوين و براي داوري به يكي از مجلات معتبر علمي فرستاده شده است. در پايان فصل دوم نشان داديم که همه گروههاي ساده پراکنده با استفاده از nse ومرتبه تشخيص پذيرند كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:
A Characterization of Sporadic Simple Groups by NSE and Order
در سال 2012 در مجله
Journal of Algebra and Its Applications
موفق به پذيرش چاپ کرديد.
در فصل سوم اين رساله روش ديگري براي تشخيص‌پذيري گروه ارائه كرده‌ايم كه روش جديدي براي تشخيص‌پذيري يك گروه است كه تاكنون هيچ مقاله‌اي در اين زمينه به چاپ نرسيده است. در اين روش با استفاده از تعداد سيلو زيرگروههاي يك گروه با مركز بديهي نشان مي‌دهيم كه بعضي از گروههاي خطي تشخيص‌پذير و يا تشخيص‌پذيرند. نتايج حاصل از اين فصل را در قالب دو مقاله تدوين كرده‌ايم. در مقاله اول روي گروههاي براي كار شده كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:
A new charaterization of some linear groups
براي داروي به يكي از مجلات معتبر علمي فرستاده شده است، و در مقاله دوم روي گروههاي براي كار شده كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:
A Charaterization of some linear groups
در سال 2011 در مجله
Australian Journal of Basic and Applied Science
چاپ شده است.
عليرضا خليلي اسبوئي
دانشگاه آزاد اسلامي
واحد علوم تحقيقات
بهار1391
فهرست مطالب
فصل اول تعاريف و قضيه‌هاي مقدماتي
1-1 مقدمه 1
1-2 تعاريف و مفاهيم مقدماتي 2
1-3 آشنايي با رده بندي گروههاي ساده متناهي4
فصل دوم تشخيص‌پذيري چند گروه ساده از طريق تعداد عناصر هم‌مرتبه يك گروه
2-1 مقدمه 12
2-2 تشخيص‌پذيري گروههاي متناوب ساده و 14
2-3 تشخيص‌پذيري گروههاي متقارن 20
2-4 تشخيص‌پذيري گروههاي خطي 31
2-5 تشخيص‌پذيري گروههاي ماتيو 39
2-6 تشخيص‌پذيري گروههاي ساده پراکنده 39
فصل سوم تشخيص‌پذيري چند گروه ساده از طريق تعداد سيلو زيرگروههاي يك گروه با مركز بديهي
3-1 مقدمه 53
3-2 تشخيص‌پذيري گروههاي خطي 55
3-3 پيشنهادات براي ادامه کار63
مراجع 64
فصل اول
تعاريف و قضيه‌هاي مقدماتي
1-1 مقدمه
اين فصل را به بيان تعاريف اوليه كه در سرتاسر رساله به كار خواهيم برد و همچنين بيان قضاياي معروفي كه از آنها استفاده خواهيم كرد، اختصاص مي‌دهيم. قضايايي كه بدون اثبات آورده شده‌اند، در مقابل هر يك از آنها مرجعي مناسب معرفي شده است تا خواننده در صورت نياز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضيه را مشاهده كند.
1-2 تعريف و مفاهيم مقدماتي
تعريف: فرض كنيد گروه G روي مجموعه X عمل كند و در اين صورت مجموعه را پايدارساز x در G ناميده و با نماد يا نشان مي‌دهيم.
تعريف: عمل G روي X را انتقالي مي‌گوئيم هر گاه به ازاي هر و از X عضوي از G مانند g باشد به طوري كه .
تعريف: عمل G روي X را انتقالي است هر گاه به ازاي هر دوگانه و که در آن و براي هر عضوي از G مانند g باشد به طوري كه براي هر .
تعريف: عمل گروه G روي مجموعه X را نيمه‌منظم گوئيم هرگاه براي هر داشته باشيم
{1}=
قضيه 1-2-1 فرض كنيد گروه G روي X به طور نيمه منظم عمل كند آنگاه مرتبه G مقسوم‌عليهي از مرتبه X است.
برهان. به [8] رجوع شود.
براي يک گروه دلخواه مانند G تعداد سيلو p-زيرگروههاي آن را با نماد نمايش مي دهيم.
قضيه 1-2-2 فرض كنيد G يك گروه متناهي و N يك زيرگروه نرمال G باشد، آن‌گاه و مقسوم‌عليهي از است و همچنين داريم.
برهان. به [33] رجوع شود.
تعريف: فرض كنيد n يك عدد صحيح باشد. در اين صورت ، مجموعه تمام اعداد اولي است كه n را مي‌شمارد.
اگر G يك گروه متناهي باشد، را همان تعريف مي‌كنيم.
قضيه 1-2-3 فرض كنيد G يك گروه متناهي، فرد باشد همچنين فرض كنيد P يك سيلو زيرگروه G و جائيكه . اگر P دوري نباشد، آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربي از است.
برهان. به [24] رجوع شود.
قضيه 1-2-4 فرض كنيد G يك گروه متناهي . همچنين فرض كنيد G داراي سري نرمال باشد. اگر و p مرتبه K را عاد نکند آن‌گاه نتايج زير برقرار است:
i)
ii) يعني ؛
iii) به عبارت ديگر داريم جائيكه t يك عدد صحيح مثبت است و.
برهان. به [27] رجوع شود.
تعريف: فرض كنيد G يك گروه متناهي باشد و كه در آن m و n دو عدد طبيعي متباين‌اند. هر زيرگروه G از مرتبه m را يك زيرگروه هال مي‌نامند. به عبارت ديگر، زيرگروه H از G را يك زير گروه هال گويند در صورتي كه و نسبت به هم اول باشد.
همچنين اگر کهها اعداد صحيح نامنفي و لااقل يکي مخالف صفر است و در اينصورت H را يك هال زير گروه G مي‌نامند.
قضيه 1-2-5 فرض كنيد G يك گروه متناهي حلپذير و، جائيكه و . همچنين فرض كنيد و تعداد هال زيرگروههاي G باشد، آن‌گاه است كه به ازاي هر در شرايط زير صدق مي‌كند:
i) براي يك ؛
ii) مرتبه يكي از فاكتورهاي اصلي از سري اصلي گروه G را عاد مي‌كند.
برهان. به [12] رجوع شود.
تعريف: گروه G را با گروه مي‌ناميم هر گاه . اگر G يك گروه ساده و آن گاه G را يك گروه ساده مي‌ناميم.
قضيه 1-2-6 فرض كنيد G يك گروه ساده غير آبلي باشد در اين صورت .
برهان. بنا به قضيه برنسايد هر گروه و هر گروه از مرتبه حلپذيرند، چون G غيرحلپذير است پس .
?- ? آشنايي با رده بندي گروههاي ساده متناهي
گروههاي ساده را به چهار نوع گروه رده بندي كرده اند كه در ذيل به بيان اين رده بندي مي پردازيم:
قضيه 1-?- ? (قضية رده بندي گروههاي سادة متناهي)
گروههاي ساده آبلي كه دقيقا عبارتند از كه در آن يك عدد اول است،
گروههاي متناوب براي ،
خانواده اي متنوع از گروهها از نوع لي3 ،
گروههاي پراكنده كه يك مجموعة ?? عضوي از گروههاي ساده است.

قضيه 1 -?- ? اگر آنگاه ساده است.
برهان. به صفحة ?? از [34] رجوع شود.
گروههاي سادة متناهي از نوع لي خود به سه دسته تقسيم مي شود:
گروههاي شوالي4
گروههاي ساده و از نوع لي هستند كه شامل ? خانواده نامتناهي از گروههاي ساده مي باشند:
1) (گروه خطي خاص تصويري)
2) (گروه يكاني خاص تصويري)
3) (گروه سيمپلكتيك تصويري)
4) که درآن (گروه متعامد تصويري)
گروههاي شوالي تابدار
كه اين گروها عبارتند از:
،
براي ؛ براي ،
براي ؛ براي .
گروه تايت
گروهي ساده ومتناهي است كه زير گروهي از گروه مي باشد که آن را با نماد نشان مي دهند.
براي آشنايي بيشتر با گروههاي ساده چند نوع از آنها را بررسي مي كنيم. چندين خانواده از گروههاي كلاسيك وجود دارد كه با گروههاي ماتريسي بر روي يك ميدان متناهي پيوند دارند. اكنون ساده ترين اين گروهها را بررسي مي كنيم.
فرض كنيد يك ميدان و يك عدد طبيعي باشد. مجموعة تمام ماتريسهاي معكوسپذير را كه درآيه هاي هر يك از آنها در اند را با نمايش مي دهيم. هر عضو را معمولا به صورت مي نويسيم كه در آن درايه واقع در سطر ام و ستونام ماتريس است. مجموعه با عمل ضرب ماتريسها تشكيل يك گروه مي دهد.
تعريف: گروه را گروه خطي عام (از درجه بر) مي نامند.
واضح است مجموعه تمام اعضاي از كه دترمينان هر يك از آنها برابر? (عضو واحد ميدان) است زير گروهي از مي باشد. اين زير گروه را با نشان مي دهند.
تعريف: گروه را گروه خطي خاص (از درجة بر) مي نامند.
فرض كنيم يك ميدان متناهي باشد و . در اين صورت گروههاي و را به ترتيب با نماد و نيز نشان مي دهند.

تعريف: اگر يك ميدان دلخواه باشد، گروه را گروه خطي خاص تصويري (از درجة بر) مي نامند وآن را با نمايش مي دهند.
بعلاوه داريم:
گروهرا با يا نيز نمايش مي دهند.
فرض كنيد عددي طبيعي و ميدان دلخواهي باشد. با روشهاي مقدماتي مي توان ملاحظه كرد كه مركزگروه متشكل از تمام ماتريسهاي اسكالر مانند است كه در آن ماتريس واحد و عضوي از است وضمنا. يكريختيهاي جالبي بين گروههاي خطي خاص تصويري و گروههاي متناوب وجود دارد كه در زير به برخي از آنها اشاره مي كنيم:
و
فرض كنيد ماتريسي مربع باشد. ماتريس الحاقي را با نمايش داده و به شكل زير تعريف مي كنيم:
كه در آن مزدوج مختلط است. اگر و دو ماتريس مربعي باشند، آنگاه . ماتريس مربعي را يك ماتريس يكاني نامند هرگاه .
با توجه به تعريف ماتريسهاي يكاني داريم، كه در آن ماتريس هماني است ( لذا هر ماتريس يكاني وارونپذير است ). بعلاوه اگر يك ماتريس يكاني ويك ماتريس هرميتي باشد ( يعني ) آنگاه
اگردترمينان برابر? باشد، آنگاه يك ماتريس يكاني خاص ناميده مي شود. بعلاوه حاصلضرب هر دو ماتريس يكاني باز هم يك ماتريس يكاني است. همچنين وارون هر ماتريس يكاني، ماتريسي يكاني است. از طرفي ماتريس هماني يك ماتريس يكاني است. در نتيجه ماتريسهاي يكاني همراه با عمل ضرب ماتريسها تشكيل يك گروه مي دهند كه به آن گروه يكاني گفته مي شود.

تعريف: زير گروه متشكل از ماتريسهاي يكاني با دترمينان يك را گروه يكاني خاص مي نامند وآنرا با نمايش مي دهند.
تعريف: گروه خارج قسمتي را گروه يكاني خاص تصويري مي نامند و آنرا با نمايش مي دهند. همچنين داريم:
گروه كه آنرا با يا نيز نمايش مي دهند، براي همواره يك گروه ساده است به جز در حالات زير:
علاوه بر اين:
.
يك فرم سيمپلكتيك بر فضاي برداري روي ميدان تابعي است مانند كه در خواص زير صدق كند:
كه در آن و .
را ناتبهگون ناميم هرگاه از اينكه به ازاي هر ، بتوان نتيجه گرفت . گروه سيمپلكتيك كه آن را با نيز نمايش مي دهند ، گروه ماتريسهاي اي است كه يك فرم سيمپلكتيك ناتبهگون را حفظ مي كند، يعني ماتريسهايي ناتكين مانند كه و يك فرم سيمپلكتيك ناتبهگون است.
تعريف: گروه خارج قسمتي را يك گروه سيمپلكتيك تصويري مي نامند وآن را با نمايش مي دهند.
گروه سيمپلكتيك را با نماد يا نيز نمايش مي دهند. اين گروه براي همواره يك گروه ساده است به جز در موارد زير:
همچنين داريم: و
ماتريس ، را يك ماتريس متعامد مي ناميم هرگاه كه در آن ترانهادة ماتريس است. به وضوح هر ماتريس متعامد وارونپذير است و. همچنين دترمينان هر ماتريس متعامد است. حاصلضرب هر دو ماتريس متعامد باز هم يك ماتريس متعامد است. بعلاوه وارون يك ماتريس متعامد يك ماتريس متعامد است و همچنين ماتريس هماني نيز يك ماتريس متعامد است. لذا مجموعة ماتريسهاي متعامد با ضرب ماتريسها تشكيل يك گروه مي دهد كه آن را با نمايش داده به آن گروه متعامد مي گوييم. زير گروهي از اين عناصر كه داراي دترمينان يك باشد را گروه متعامد خاص ناميده و آن را بانمايش مي دهيم. همانند موارد قبل مي توان يا گروه متعامد خاص تصويري را تعريف كرد. اما اين گروه ساده نيست. ابتدا فرض كنيد فرد و تواني از يک عدد اول فرد باشد. در اين صورت شامل زير گروهي نرمال از انديس ? است. چنانچه زير گروه مشتق گروه را بدست آوريم زير گروهي از انديس حداكثر? خواهد شد كه آنرا با نمايش مي دهيم. حال طبق معمول گروه خارج قسمتي را با يانمايش مي دهيم كه گروهي از مرتبة

است كه در آن. گروه با گروه يكريخت است و گروه با گروه سيمپلكتيك يكريخت است. اما براي گروه با هيچ گروه سادة ديگري يكريخت نيست. اگر زوج باشد و را توان يك عدد اول فرد در نظر بگيريم ،آنگاه دو فرم دو خطي نا منفرد غير هم ارز بر روي فضاي برداري بدست مي آيد. اين فرمها دو گروه مختلف از ماتريسهاي متعامد را مشخص مي كنند كه آنها را با و ( به ترتيب و) نمايش مي دهيم. در مورد مرتبة اين گروهها مي توان نوشت:
كه در آن و بزرگترين مقسوم عليه مشترك ? و است و
كه در آن باز هم بزرگترين مقسوم عليه مشترك? و است طبق معمول براي هاي كوچك برخي از يكريختيها برقرار است:
به خصوص هيچوقت ساده نيست. اما چنانچه و فرض كنيم ، آنگاه با يكريخت است. ولي اگر زوج باشد همان روند بالا را مي توان تكرار كرد. گروه را با نماد نيز نمايش مي دهند و نهايتا را نيز با نمادنمايش داده مي شود. جزء آخر رده بندي، مجموعة ?? عضوي گروههاي پراكنده مي باشد. پنج گروه از اين مجموعه توسط ماتيو5 ، در سال ???? و ???? كشف شدند. گروه بعدي يعني ، در سال ???? توسط يانكو6 كشف شد. كشف اكثر اين گروهها در سال ???? تا سال ???? بوده است.
گروههاي و را گروههاي ماتيو مي نامند. گروههاي و را گروههاي يانكو مي نامند. گروه را گروه هال – يانكو7 نيز مي نامند و به همين دليل آنرا با نمادنيزنمايش مي دهند. گروههاي و را گروههاي فيشر8 مي نامند. همچنين گروههاي و را گروههاي كانوي9 مي نامند. ساير گروههاي پراكنده عبارتند از: (سوزوكي10)، ( هگمن – سيمز11)، (مك لافلن12)، (هلد13)، (هارادا – نرتن14)، (تامپسون15)،،،( اونان16)، (ليونز17)،(رودواليس18).
باتوجه به اينکه در فصل دوم تشخيص پذيري گروههاي ماتيو مورد بررسي قرار خواهند گرفت درباره اين گروهها توضيحات بيشتري ارائه مي کنيم.
تعريف: مجموعه را که در آن q تواني از يک عدد اول فرد است به صورت زير تعريف مي کنيم
تذکر: در[35] ثابت مي شود که روي ، انتقالي عمل مي کند.
تعريف: فرض کنيد G روي X عمل کند و حرفي متمايز از X باشد. قرار دهيد و فرض کنيد يک گروه جايگشتي روي باشد. مي گوئيم يک توسيع انتقالي Gاست هرگاه
1) روي انتقالي باشد و
2) .
قضيه 1-3-3 گروه را که روي مجموعه ، انتقالي است در نظر بگيريد. فرض کنيد حرفي باشد که در X وجود ندارد در اينصورت داراي توسيع انتقالي روي است که روي آن به صورتانتقالي عمل مي کند و. اصطلاحا” گروه را که بانماد نشان مي دهيم گروه ماتيو از درجه 11 مي گويند.
برهان. به [26] رجوع شود.
قضيه 1-3-4 گروه روي 12 حرف داراي توسيع انتقالي است اين توسيع انتقالي را با نماد نمايش داده و به آن گروه ماتيو روي 12 حرف مي نامند. همچنين اين گروه انتقالي بوده و .
برهان. به [26] رجوع شود.
تعريف: را برابر گروه تعريف مي کنيم.
قضيه 1-3-5 گروه روي 22 حرف داراي توسيع انتقالي است اين توسيع انتقالي را با نماد نمايش داده و به آن گروه ماتيو روي 22 حرف مي نامند. همچنين اين گروهانتقالي بوده و .
برهان. به [26] رجوع شود.
قضيه 1-3-6 گروه روي 23 حرف داراي توسيع انتقالي است اين توسيع انتقالي را با نماد نمايش داده و به آن گروه ماتيو روي 23 حرف مي نامند. همچنين اين گروه انتقالي بوده و .
برهان. به [26] رجوع شود.
قضيه 1-3-7 گروه روي 24 حرف داراي توسيع انتقالي است اين توسيع انتقالي را با نماد نمايش داده و به آن گروه ماتيو روي 24 حرف مي نامند. همچنين اين گروه انتقالي بوده و .
برهان. به [26] رجوع شود.
ليست تمام گروههاي ساده در جدولي در انتهاي رساله ارائه شده است. همچنين جهت اطلاعات بيشتر درباره گروههاي ساده مي‌توانيم به مرجع [35] مراجعه كنيم.
در پايان اين بخش دو قضيه مهم درباره و گروههاي ساده بيان مي کنيم.
قضيه 1-3-8 اگر G يك گروه ساده باشد، آن‌گاه G با يكي از گروههاي زير يكريخت است:
برهان. به [11] رجوع شود.
قضيه 1-3-9 اگر G يك گروه ساده باشد آن‌گاه G فقط با يكي از گروههاي هر يک از بندهاي زير يكريخت است.
i) ، ، و
ii) ، و
iii) (a) ، جائيكه r يك عدد اول است و در شرط كه ، ، , يك عدد اول است صدق مي‌كند؛
(b) جائيكه m در شرط كه، u و t اول باشند و و صدق مي‌كند؛
(c) جائيكه m در شرط يا كه ، u، t اعداد اول فرد و صدق مي‌كند؛
(d) ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، .
برهان. به [32] رجوع شود .
قضيه 1-3-9 فرض کنيد G گروهي باشد به طوري که و مرتبه نرمالسازهر سيلو p- زيرگروه G با مرتبه نرمالساز هر سيلو p- زيرگروه S برابراست جائيکه S گروه ساده پراکنده و p بزرگترين مقسوم عليه اول مر تبه G است. آنگاه گروه G با گروه S يکريخت هستند.
برهان. به [20] رجوع شود .
فصل دوم
تشخيص‌پذيري چند گروه ساده از طريق تعداد عناصر هم ‌مرتبه يك گروه
2-1 مقدمه
فرض كنيد G يك گروه باشد اگر مجموعه تمام مرتبه هاي عناصرگروه G را با نماد نشان دهيم آنگاه مجموعه تمام عناصر هم مرتبه G را که با نماد nse(G) نمايش مي دهند به صورت تعريف مي کنند. تامپسون در سال 1978 مسئله زير را ارائه كرد:
مسئله: فرض كنيد جائيكه تعداد عناصر از مرتبه n است. اگر و G يك گروه حلپذير متناهي باشد آن‌گاه آيا مي‌توان نتيجه گرفت H حلپذير است؟
تاكنون كسي به طور كامل نتوانست اين مسئله را حل كند يا يك مثال نقص ارائه كند، در سال 1986، شي روي گروه ساده متناوب كار كرده و نشان داد كه گروه متناهي G با ايزومورف است اگر و فقط اگر [31]. بعد از آن گروههاي ساده زيادي پيدا شد كه فقط با استفاده از مجموعه مرتبه عناصر تشخيص‌پذير شده‌اند.
در سال 2009، شن و همكارانش در [30] ثابت کردند كه گروههاي ، ، به طور منحصر به فردي بوسيله مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخيص‌پذيرند. اين اولين تشخيص‌پذيري بود كه از اين طريق انجام شد. در همان سال خسروي و همكارانش در [19] ثابت کردند كه گروههاي براي به طور منحصر بفردي بوسيله مجموعه تعداد عناصر هم‌ مرتبه تشخيص‌پذيرند. در اين فصل از رساله ما نشان داده‌ايم كه گروههاي متناوب ساده ، گروههاي متقارن براي گروههاي خطي براي و گروههاي ساده ماتيو با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخيص‌پذيرند.
2-2 تشخيص‌پذيري گروههاي متناوب ساده و
قبل از اينكه تشخيص‌پذيري ، با استفاده از nse را ثابت كنيم ابتدا دو لم بسيار مهم را كه در اثبات قضيه‌هاي اين فصل از آنها كمك مي‌گيريم را بيان مي‌كنيم:
لم 2-2-1 فرض كنيد G يك گروه متناهي و m يك عدد صحيح مثبت باشد به طوري كه . اگر آن‌گاه .
برهان. به [9] رجوع شود.
لم 2-2-2. فرض كنيد G يك گروه با بيش از دو عضو باشد همچنين فرض كنيد و تعداد عناصر از مرتبه k در G باشد. اگر آن‌گاه G يك گروه متناهي است و .
برهان. به [30] رجوع شود.
تذكر: از لم (2-2-2) نتيجه مي‌شود اگر G يک گروه و يك مجموعه متناهي باشد آن‌گاه G گروهي متناهي است. در تمامي قضيه هاي اين فصل چون يک مجموعه متناهي مي باشد نتيجه مي شود G گروهي متناهي است. همچنين اگر مي‌دانيم كه جائيكه k تعداد زير گروههاي دوري از مرتبه n و تابع حسابي اويلر است. واضح است كه اگر آن‌گاه زوج است.
حالا از لم (2-2-1) و تذکرداريم:
(*) از اين تذكر و (*) در اثبات قضيه‌هاي اين فصل استفاده مي‌كنيم.
قضيه 2-2-3. فرض كنيد G يك گروه آن‌گاه.
برهان. براي اثبات حكم ابتدا نشان مي‌دهيم كه . چون از (*) نتيجه مي‌شود كه و . فرض كنيد از (*)داريم و در نتيجه. فرض كنيد بار ديگر از (*) داريم ، از طرف ديگر از (*) مي‌توان نتيجه گرفت كه اگر‌ آن‌گاه برابر 210 يا 630 مي باشد و بنابراين يا كه در هر صورت يك تناقض است، پس . حالا روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 با تزويج عمل مي‌كند و چون اين عمل يك عمل نيمه منظم است بنا به قضيه (1-2-1) داريم كه يك تناقض است. بنابراين ، به طريق مشابه مي‌توان نشان داد كه ، در نتيجه . اگر آن‌گاه از (*) داريم ، و . اکنون فرض کنيد آن گاه با استفاده از (*) داريم در نتيجه از nse(G) نتيجه مي شود از طرف ديگر از (*) داريم که يک تنا قض است. همچنين به آساني از (*) مي‌توان نتيجه گرفت كه گروه G هيچ عضوي از مرتبه 81، 64، 96، 125و 343 نمي‌باشد. اگر آن‌گاه و اگر آن‌گاه . فرض كنيد چون نتيجه مي شود كه برابر 5 يا 25 است. اگر آن‌گاه با در نظر گرفتن در لم (2-2-1) داريم . بنابراين يعني سيلو 5- زيرگروههاي G دوري‌اند در نتيجه تعداد سيلو 5- زيرگروههاي G برابر با است. چون در اين صورت ، كه نتيجه مي‌دهد . اگر از لم (2-2-1) داريم با توجه به اينكه ‌ آن‌گاه در نتيجه . بنابراين سيلو 5- زيرگروههاي G دور‌ي اند و از آنجا . با توجه به اينكه هر عضو از مرتبه 5 در سيلو 5- زيرگروه G قرار مي‌گيرد، نتيجه مي‌شود كه كه يك تناقض است پس . حال فرض كنيد چون پس برابر 7 يا 49 است. اگر آن‌گاه در نتيجه و از آنجا . بنابراين و حال اگر با توجه به اينکه و نتيجه مي شود . بنابراين برابر 5 يا 12 است كه با توجه به قضيه سيلو يك تناقض بدست مي آيد. از بحث بالا نتيجه مي‌شود كه اگر آن‌گاه و .
اگر آن‌گاه و اگر آن‌گاه . اكنون نشان مي‌دهيم كه نمي‌تواند يا باشد در نتيجه بايد باشد. موارد زير را در نظر مي‌گيريم.
مورد 1. فرض كنيد آن‌گاه با توجه به اينكه نتيجه مي‌شود . با توجه به فرض قضيه داراي هفت عضو است كه اين غيرممكن است.
مورد 2. فرض كنيد . چون آن‌گاه برابر 3, 9 يا 27 است. اگر آن‌گاه در نتيجه .
اگر آن‌گاه چون و يك تناقض بدست مي‌آوريم. حال فرض كنيد چون نتيجه مي‌شود پس بنابراين داريم:
جائيكه m و n و و و و و اعداد صحيح نامنفي و واضح است كه. اگر مي‌توان نتيجه گرفت . با استفاده از يک کد کامپيوتري در نرم افزار فرترن که ضميمه رساله مي باشد به آساني مي‌توان بررسي كرد كه معادله بالا داراي هيچ جوابي نيست.
اگر نتيجه مي‌شود، در اين حالت نيز به آساني بررسي مي‌شود كه معادله فوق داراي هيچ جوابي نيست، پس. حال اگر داريم چون آن‌گاه . بنابراين با توجه به اينكه يك تناقض بدست مي‌آيد. همچنين اگر با توجه به اينكه داريم . اگر آن‌گاه از يك تناقض بدست مي‌آيد و اگر برابر 81 يا 243 باشد از قضيه (1-2-3) داريم كه يك تناقض است.
در نتيجه با توجه به توضيحات قبل . اكنون ثابت مي‌كنيم كه . چون گروه روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 5 با تزويج عمل مي‌كند كه اين عمل يك عمل نيمه منظم است حالا از قضيه (1-2-1) داريم ، در نتيجه . به طريق مشابه نتيجه مي‌شود كه . اکنون نشان مي دهيم که . فرض کنيد مي‌دانيم كه اگرP و Q سيلو 7- زيرگروههاي G باشند آن‌گاه P و Q با هم مزدوجند در نتيجه و نيز در G مزدوجند بنابراين جائيكه k تعداد زيرگروههاي دوري از مرتبه 3 در است. چون داريم كه يك تناقض است پس . به طريق مشابه مي‌توان نشان داد كه . چون گروه روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 7 به طور نيمه منظم عمل مي‌كند بنابراين پس . همچنين چون آن‌گاه در نتيجه . با توجه به اينكه نتيجه مي‌شود. در [27] ثابت شده که گروههاي ساده با nse و مرتبه تشخيص پذير هستند چون يک گروه ساده است بنابراين .
قضيه 2-2-4 فرض كنيد G يك گروه و
آن‌گاه .
برهان. براي اثبات حكم ابتدا نشان مي‌دهيم كه . چون از (*) نتيجه مي‌شود كه و . فرض كنيد از (*) نتيجه مي‌شود كه . اگر آن‌گاه . از طرف ديگر از (*) نتيجه مي‌شود كه اگر آن‌گاه و كه يك تناقض است. پس ، بنابراين روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 به طور نيمه منظم عمل مي‌كندآن گاه كه يك تناقض است. بنابراين و به طريق مشابه مي‌توان نشان داد كه 2689 و 5041 عضو نمي باشند.
در نتيجه . اگر ‌ آن‌گاه از (*) داريم ، و . همچنين به آساني ديده مي‌شود كه گروه G عناصري از مرتبه 35، 81، 125، 343، 512 و 768 ندارد. اگر آنگاه ، اگر ‌ آن‌گاه و اگر آن‌گاه .
فرض كنيد با توجه به اينكه نتيجه مي‌شود كه برابر5 يا 25 است. اگر آن‌گاه بنابراين و . در نتيجه . اگر آن‌گاه و از آنجا . فرض كنيد پس دوري است آن‌گاه با استفاده از قضيه سيلو يك تناقض بدست مي‌آوريم. حال فرض كنيد بنا به قضيه (1-2-3) داريم كه يك تناقض است. در نتيجه حالت اتفاق نمي‌افتد. اكنون فرض كنيد ، با توجه به اينكه نتيجه مي‌شود كه برابر 7 يا 49 است. اگر آن‌گاه و در نتيجه . همچنين اگر آن‌گاه و با استفاده از قضيه سيلو يك تناقض بدست مي‌آيد. بنابراين نمي‌تواند 49 باشد. بنا به بحث بالا مي‌توان نتيجه گرفت كه اگر آن‌گاه و اگر آن‌گاه . اكنون در ادامه كار نشان خواهيم داد كه نمي‌تواند يا باشد در نتيجه بايد باشد. موارد زير را در نظر مي‌گيريم:
مورد 1. فرض كنيد از اينكه داريم آنگاه داريم
جائيكه m و ، ، ، ، ، اعداد صحيح نامنفي‌اند و . با توجه به شرط و در نظر گرفتن مقادير که مي توان نشان داد كه اين معادله جواب ندارد. پس اين مورد ممكن نيست.
مورد 2. فرض كنيد . با توجه به اينكه ‌ آن‌گاه برابر 3، 9 يا 27 خواهد بود. اگر آن‌گاه پس . اگر آن‌گاه ، با توجه به اينكه يك تناقض است و اگر داريم:
جائيكه . با استفاده از يک کد کامپيوتري در نرم افزار فرترن شبيه آنچه که ضميمه رساله مي باشد به آساني مي‌توان بررسي كرد كه معادله بالا داراي هيچ جوابي نيست در نتيجه. حال فرض كنيد چون واضح است كه. بنابراين كه يك تناقض است. اگر آن‌گاه با توجه به اينكه نتيجه مي‌شود كه . اگر بنا به قضيه (1-2-3) كه يك تناقض است و اگر آن‌گاه كه باز هم يك تناقض است. در نتيجه اين مورد هم ممكن نيست. بنابراين با توجه توضيحات قبلي . چون آن‌گاه گروه روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 5 به صورت نيمه منظم عمل مي‌كند، در نتيجه و از آنجا به طور مشابه . حالا نشان مي‌دهيم كه . فرض كنيد در اين صورت جائيكه k تعداد زيرگروههاي دوري از مرتبه 3 در است. چون آن‌گاه كه يك تناقض است. پس و به طريق مشابه مي‌توان نشان داد كه . از اينكه نتيجه مي‌شود كه گروه به طور نيمه منظم روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 7 عمل مي‌كند، بنابراين و از آنجا . همچنين از اينكه نتيجه مي‌شود كه و از آنجا . اکنون با توجه به اينكه ، ، ، و نتيجه مي‌شود كه . چون يک گروه ساده است از [27] داريم .
نتايج حاصل از اين بخش در مقاله اي تحت عنوان:
A new Charaterization of ,
در سال 2011 در مجله
Anale Stintifice ale universitatii Ovidius Constanta
موفق به دريافت‌ پذيرش چاپ گرديد [13].
2-3 تشخيص‌پذيري گروههاي متقارن
در اين بخش نشان مي‌دهيم گروههاي متقارن براي با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخيص‌پذيرند.
قضيه 2-3-1 فرض كنيد G يك گروه و ‌ آن‌گاه .
برهان. براي اثبات حكم ابتدا نشان مي‌دهيم كه . چون از (*) نتيجه مي‌شود كه و . فرض كنيد از (*) داريم بنابراين . اگر آن‌گاه . فرض كنيد از (*) داريم و كه يك تناقض است. در نتيجه . همچنين از (*) داريم كه گروه G عناصري از مرتبه 8 و 9 ندارد.
با اين بحث داريم . اكنون نشان مي‌دهيم كه نمي‌تواند باشد در نتيجه . فرض كنيد آن‌گاه که نتيجه مي دهد از (*) داريم كه يك تناقض است. بنابراين امكان‌پذير نيست. در نتيجه . با توجه به اينكه داريم جائيكه m و n و k اعداد صحيح نامنفي‌اند و . واضح است كه تنها جواب اين معادله برابر است با . در نتيجه و واضح است كه .
قضيه 2-3-2 فرض كنيد G يك گروه و آن‌گاه .
برهان. ابتدا نشان مي‌دهيم كه . چون نتيجه مي‌شود كه و . فرض كنيد از (*) نتيجه مي‌شود که p برابر 3 يا 7 است يعني . اگر آن‌گاه نشان مي‌دهيم كه . فرض كنيد از (*) داريم و كه يك تناقض است. بنابراين . حالا نتيجه مي شود گروه روي مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 به طور نيمه منظم عمل مي‌كند. بنابراين كه يك تناقض است.
در نتيجه . اگر از (*) نتيجه مي شود كه همچنين از (*) نتيجه مي‌شود كه گروه G داراي هيچ عضوي از مرتبه 6، 9 و 32



قیمت: تومان


پاسخ دهید