دانشکدهي علوم
پاياننامهي کارشناسي ارشد در رشته‌ي
فيزيک- حالت جامد
مقايسه خواص اپتيکي نقاط کوانتومي کروي درمدل‌هاي مختلف پتانسيل محدودکننده
به کوشش
فهيمه جوادي شکرو
استادان راهنما
دکتر محمود براتي خواجويي
دکتر محمود مرادي
شهريور ماه 1392
به نام خدا
اظهارنامه
اينجانب فهيمه جوادي شکرو رشته فيزيک گرايش حالت‌ جامد دانشکدهي علوم اظهار مي کنم که اين پايان‌نامه حاصل پژوهش خودم بوده و در جاهايي که از منابع ديگران استفاده کرده‌ام، نشاني دقيق و مشخصات کامل آن را نوشته‌ام همچنين اظهار مي‌کنم که تحقيق و موضوع
پاياننامه‌ام تکراري نيست و تعهد مي‌نمايم که بدون مجوز دانشگاه دستاورد‌هاي آنرا منتشر ننموده و يا در اختيار غير قرار ندهم . کليه حقوق اين اثر مطابق با آيين نامه مالکيت فکري ومعنوي متعلق به دانشگاه شيراز است.
نام و نام خانوادگي: فهيمه جوادي شکرو
تاريخ و امضا:31/6/92
تقديم به:
پدر و مادر عزيزم، به زيباترين آفرينش‌هاي خالق هستي، سايه‌بانان آرامش و تکيه‌گاهان زندگي
و همسرم، به پاس قدرداني از قلبي آکنده از عشق و معرفت
سپاسگزاري
اکنون که در سايه‌ي لطف و عنايت پروردگار مهربانم توانستم مرحله ديگري از تحصيلاتم را با موفقيت به پايان رسانم به رسم ادب و سنت حصنه سپاس لازم مي‌دانم از تمام کساني که مرا در اين مسير ياري نمودند، تشکر و قدرداني نمايم:
حمد وسپاس خدايي را که به ما عقل داد و از طريق عقل به ما علم آموخت.
و با سپاس فراوان از استادان فرزانه‌ام :
اساتيد راهنما ، جناب آقاي دکتر براتي و جناب آقاي دکتر مرادي که دانايي‌شان، علم کلامشان، روشنايي و شاگرديشان افتخار را برايم به همراه داشت.استادان گرانقدري که با راهنمايي‌هاي گرانقدرشان مرا در پيمودن راه ياري نمودند.
از اساتيد محترم مشاور جناب آقاي دکتر دعوت‌الحق و جناب آقاي دکتر ذاکري که همواره از نظرات و راهنمايي‌هاي ارزشمندشان بهره فراوان برده‌ام سپاسگزارم.
از جناب آقاي دکتر منتخب که زحمت مطالعه و داوري اين پايان‌نامه را تقبل نمودند، سپاسگزارم.
و از تمام اساتيدبخش فيزيک دانشگاه شيراز که چگونه انديشيدن را از آنان آموختم.
در نهايت از فرد فرد اعضاي خانواده‌ام که در تمام اين سال‌ها پشتيبان و مشوقم بودند تشکر مي‌کنم.
چکيده
مقايسه خواص اپتيکي نقاط کوانتومي کروي
در مدل‌هاي مختلف پتانسيل محدودکننده
به کوشش
فهيمه جوادي شکرو
نقطه‌ي کوانتومي يکي از سيستم‌هاي کوانتومي نيم‌رسانا است که در آن، حرکت حامل‌هاي بار در تمام راستاهاي فضايي محدود مي‌باشد. اين محدوديت فضايي سبب کوانتيدگي ترازهاي انرژي الکترون‌ها در نوار رسانش شده، خصوصيات فيزيکي اين سيستم‌هاي نيم‌رسانا را دگرگون مي‌سازد. علاوه بر اين ، يکي از مهم ترين مشخصه‌هاي نقطه‌هاي کوانتومي امکان گذار بين زير نوارها در نوار رسانش و يا ظرفيت بوده و اين امر توجه بسياري از علاقه‌مندان را در سال‌هاي اخير به خود جلب نموده است. بررسي خواص الکتروني و اپتيکي نقطه‌هاي کوانتومي نه تنها از ديدگاه نظري بلکه به علت کاربرد وسيع آن‌ها در ساخت ليزرهاي نيم‌رسانا، قطعات الکترونيکي و اپتوالکترونيکي مورد توجه بوده است.
در اين پايان‌نامه به بررسي خواص الکتروني و نوري نقاط کوانتومي کروي با مدل‌هاي مختلف پتانسيل محدودکننده پرداختيم. بدين منظور، به کمک نرم‌افزار کامسول، که از روش المان محدود براي حل معادلات ديفرانسيل جزئي استفاده مي‌کند و با استفاده از تقريب جرم موثر، ويژه مقادير و ويژه توابع انرژي را براي پتانسيل‌هاي گاوسي،P?schl Teller، کسري و مورس به‌دست آورديم. همچنين گذارهاي نوري بين زيرنواري را براي اين سيستم‌ها بررسي کرديم. براي اين منظور از فرماليسم ماتريس چگالي و روش اختلال براي به‌دست آوردن تغييرات ضريب شکست و ضريب جذب نقطه‌ي کوانتومي استفاده شد. تغييرات ضريب شکست و ضريب جذب خطي و غيرخطي مرتبه سوم را به عنوان تابعي از شدت فوتون فرودي و براي پتانسيل‌هاي مختلف رسم کرديم. نتايج نشان مي‌دهد که قله‌ي ضرايب جذب و شکست در پتانسيل گاوسي نسبت به پتانسيل‌هاي ديگر، به سمت انرژي‌هاي بيشتر جابه‌جا مي‌شود. با مقايسه‌ي جواب ‌هاي بدست آمده با مطالعات تجربي مي‌توان بهترين مدل را براي پتانسيل محدودکننده انتخاب کرد.
واژگان کليدي: نقطه‌ي کوانتومي، پتانسيل محدودکننده، ضريب جذب، تغييرات ضريب شکست
فهرست مطالب
عنوان صفحه
فصل اول: مقدمه‌
1-1- معرفي و تاريخچه‌ي ساختار‌هاي کوانتومي2
1-1-1-چاه‌هاي کوانتومي و ابر شبکه‌ها4
1-1-2-سيم هاي کوانتومي6
1-1-3- نقاط کوانتومي7
1-2-تقريب جرم موثر9
1-3-هدف11
فصل دوم: معرفي نرم افزار COMSOL Multiphysics
2-1- مقدمه13
2-2-محيط نرم‌افزار COMSOL Multliphysics14
2-3-تعيين ابعاد و هندسه14
2-4-ساخت شبکه (meshing)16
2-5-مرحله‌ي پس‌پردازش(Post processing)17
2-6-حل معادله‌ي شرودينگر در کامسول17
عنوان صفحه
فصل سوم: ساختار انرژي نقاط کوانتومي با مدل‌هاي مختلف
3-1-گاليم آرسنايد20
3-2- محاسبه‌ي انرژي نقطه‌ي کوانتومي کروي21
3-2-1- پتانسيل بي‌نهايت21
3-2-2- پتانسيل پله اي23
3-3-مقايسه‌ي طيف انرژي پتانسيل‌هاي مختلف27
فصل چهارم: مطالعه‌ي خواص نوري نقطه‌ي کوانتومي
4-1-مقدمه31
4-2-ماتريس چگالي32
4-3-حل معادله‌ي تحول زماني ماتريس چگالي با استفاده از روش اختلال34
4-4-محاسبه‌ي ضرايب جذب و شکست خطي و غير خطي مرتبه‌ي سوم37
4-4-1-محاسبه‌ي پذيرفتاري خطي37
4-4-2-محاسبه‌ي پذيرفتاري غيرخطي مرتبه‌ي سوم40
4-4-3-محاسبه‌ي تغييرات ضرايب جذب و شکست نقطه‌ي کوانتومي47
فصل پنجم: محاسبات عددي و نتايج مربوط به خواص اپتيکي
5-1-پتانسيل گاوسي51
5-2- پتانسيل P?schl Teller54
5-3- پتانسيل کسري57
5-4- پتانسيل مورس60
5-5-نتيجه‌گيري63
منابع64
چکيده و صفحه عنوان به انگليسي
فهرست جدولها
عنوان صفحه
جدول3-1 پارامتر‌هاي اساسي GaAs و AlxGa1-xAs21
جدول3-2 مقايسه‌ي جواب‌هاي تحليلي و عددي براي پتانسيل بي‌نهايت23
جدول3-3 مقايسه جواب‌هاي تحليلي و عددي انرژي حالت پايه نقطه کوانتومي کروي
پله‌اي براي شعاع هاي مختلف25
جدول3-4 مقايسه‌ي ويژه مقادير انرژي براي پتانسيل‌هاي مختلف، در حالتm=029
جدول 5-1 تاثير پتانسيل محدودکننده بر ترازهاي انرژي، تغييرات ضريب جذب
و ضريب شکست63
فهرست شکلها
عنوان صفحه
شکل‏1-1 نمايي ساده ازيک چاه کوانتومي(چپ) ونموداري تقريبي از چگالي حالت‌هاي
چاه کوانتومي(راست(5
شکل‏1-3 نمايي ساده از يک نقطه کوانتومي(چپ) و نموداري تقريبي از چگالي
حالت‌هاي نقطه کوانتومي(راست(7
شکل‏2-1 نمايي ازشبکه بندي هندسه در نرم افزار کامسول15
شکل‏2-2نمايي از نمودارهاي سه بعدي. ازابزارهاي نرم افزار کامسول براي رسم و
پردازش داده‌ها16
شکل‏3-1 وابستگي انرژي حالت پايه نقطه کوانتومي کروي پله‌اي به شعاع26
شکل‏3-2 توابع پتانسيل گاوسي،کسري،P?schl Teller ومورس و پله‌اي28
برحسب فاصله از مرکز28
شکل‏5-1 تغييرات ضريب جذب خطي، غيرخطي مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومي
با پتانسيل گاوسي به صورت تابعي از انرژي فرودي52
شکل ‏5-2 تغييرات ضرايب شکست خطي، غيرخطي مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومي
با پتانسيل گاوسي به صورت تابعي از انرژي فرودي53
شکل‏5-3 تغييرات ضريب جذب کل نقطه کوانتومي با پتانسيل گاوسي به صورت تابعي
از انرژي فرودي و شدت نور فرودي53
شکل‏5-4 تغييرات ضريب شکست کل نقطه کوانتومي با پتانسيل گاوسي به صورت تابعي
از انرژي و شدت نور فرودي54
عنوان صفحه
شکل‏5-5 ضريب جذب خطي، غيرخطي مرتبه سوم وکل نقطه کوانتومي باپتانسيل
P?schl Teller به صورت تابع از انرژي فوتون فرودي55
شکل‏5-6 تغييرات ضريب شکست خطي، غيرخطي مرتبه سوم وکل نقطه کوانتومي
با پتانسيل P?schl Teller به صورت تابعي از انرژي فوتون فرودي55
شکل‏5-7 تغييرات ضريب جذب کل نقطه کوانتومي با پتانسيل P?schl Teller به صورت
تابعي از انرژي فرودي و شدت نور فرودي56
شکل‏5-8 تغييرات ضريب شکست کل نقطه کوانتومي با پتانسيل P?schl Teller به صورت تابعي از نرژي فرودي و شدت نور فرودي56
شکل‏5-9 تغييرات ضريب جذب خطي، غيرخطي مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومي با
پتانسيل کسري به صورت تابعي از انرژي فوتون فرودي57
شکل‏5-10 تغييرات ضريب شکست خطي، غيرخطي مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومي
با پتانسيل کسري به صورت تابعي از انرژي فرودي58
شکل 5-11 تغييرات ضريب جذب کل نقطه کوانتومي با پتانسيل کسري به صورت تابعي
از انرژي فرودي وشدت نور فرودي59
شکل 5-12 تغييرات ضريب شکست کل نقطه کوانتومي با پتانسيل کسري به صورت تابعي
از انرژي فرودي وشدت نور فرودي59
شکل 5-13 تغييرات ضريب جذب خطي ، غير خطي مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومي
با پتانسيل مورس به صورت تابعي از انرژي فوتون فرودي60
شکل 5-14 تغييرات ضريب شکست خطي ، غير خطي مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومي
با پتانسيل مورس به صورت تابعي از انرژي فوتون فرودي61
شکل 5-15 تغييرات ضريب جذب کل نقطه کوانتومي با پتانسيل گاوسي به صورت تابعي
از انرژي فرودي وشدت نور فرودي62
شکل5-16 تغييرات ضريب شکست کل نقطه کوانتومي با پتانسيل گاوسي به صورت تابعي
از انرژي فرودي وشدت نور فرودي62
فصل اول
مقدمه‌
علم نانو به مطالعه و بررسي مواد در ابعاد اتم و مولکول يعني ابعادي در حدود 1 تا 100 نانومتر مي‌پردازد.در اين ابعاد، اثرهاي مکانيک کوانتومي اهميت پيدا مي کند. با کاهش اندازه‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ي سيستم، پديده‌هاي فراواني که به دليل اثرات مکانيک کوانتومي و مکانيک آماري در اين ابعاد است، نمايان مي شوند. مثلاٌ خواص الکترونيکي جامدات با کاهش اندازه‌ي ذرات به طور چشمگيري تغيير مي‌کند. اين اثرات در مقياس 100 نانومتر و کوچکتر نمايان مي شود. همچنين خصوصياتمکانيکي، الکتريکي و اپتيکي نسبت به حالت ماکروسکوپي سيستم تغيير مي‌کند.
معرفي وتاريخچه‌يساختار‌هاي کوانتومي
نيم‌رسانا‌ها امروزه به طورگسترده‌اي درعرصه علم و تکنولوژي به کار برده مي‌شوند.نيم‌رسانا ماده‌اي است کهرسانندگي الکتريکي آن بين فلزات وعايق ها قراردارد. نيم‌رساناها شالوده‌ي‌ا‌‌لکترونيک حالت جامدهستندودرقطعات الکترونيکي واپتوالکترونيکي کاربرد دارند.
مطالعه‌ياوليه صورت گرفته درزمينه‌يخصوصيات فيزيکي نيم‌رساناها درمورد ساختارهاي همسان1 مثل ژرمانيوم، آرسنايد، سلسيوم وغيره بود. اما به تدريج مشخص شد که ساختارهايي که ازپيوند دو يا چند نيم‌رسانا تشکيل شده باشند، رفتارهاي بسيار جالبي ازخود بروزمي‌دهند.اين ترکيبات راساختارهاي ناهمسان2 مي‌نامند. ساختار‌هاي ناهمسان مبناي بسياري از دستگاه‌هاي پيشرفته‌ي نيم‌رساناي امروزي هستند.مزيت اين ساختارها امکان کنترل دقيق روي حالت‌ها وحرکت حامل‌هاي بار است. ديودهاي پيوندي و ترانزيستور‌ها ، قطعاتي که امروزه تقريبا در تمام دستگاه‌هاي الکترونيکي به کار برده مي‌شوند، ازساختارهاي ناهمسان نيم‌رسانا ساخته مي‌شوند.
پيوند دونيم‌رسانا، دريک بلورانجام مي‌شود. يعني ثابت شبکه‌ي هردو بلور يکسان است اما گاف انرژي3 وضريب شکست متفاوتي دارند.دراين ساختارهاي ناهمسان نيم‌رسانا، تفاوت درگاف انرژي دو ماده سبب محدوديت فضايي الکترون وحفره مي‌شود.همچنين ازخصوصيت تفاوت ضريب شکست مي‌توان درتشکيل موج ‌برهاي نوري استفاده کرد.
امکان کنترل رسانندگي يک نيم‌رسانا به وسيله تغليظ4باناخالصي‌هاي مختلف باعث شد تا الکترونيک نيم‌رساناها ظهور پيدا کند.ساختارهاي ناهمسان نيم‌رسانا نيزامکان حل مشکلات کلي در کنترل پارامترهاي اساسي بلور نيم‌رسانا،ازجمله قابليت تحرک حامل‌ها و جرم موثر، گاف انرژي، ضريب شکست وطيف انرژي الکترون را فراهم آورد]1[.
تحقيقات سيستماتيک در مورد ساختارهاي ناهمسان، در اوايل دهه‌ي 1930 درمؤسسه‌ي Physicotechnical شروع شد. از آن زمان تا به حال پيشرفت‌هاي زيادي صورت گرفته است ومنجر بهساخت قطعاتي با کارايي بالا، ازجمله وسايل کاربردي مثل ليزرهاي نيم‌رسانا، ديودهاي گسيل کننده‌ي نور (LED)5، آشکارسازهاي نوري6،سلول‌هاي خورشيدي7وغيره شده است]7-2[.
با کاهش ابعاد مواد نيم‌رسانا يعني توليد ساختارهاي ناهمسان با لايه‌هايي درحد نانومتر مي‌توان از خاصيت کوانتيدگي حرکت الکترون‌ها استفاده کرد. پيشرفت‌هاي صورت گرفته درزمينه‌ي رشد بلورهاي نيم‌رسانا از قبيل برآرايي باريکه‌ي مولکولي8 ونشست بخار شيميايي فلز آلي9 اين امکان را فراهم آورد تا بتوان نيم‌رساناهايي با ابعاد نانو و با دقت واحدهاي اتمي ساخت]9-8[.
اين ساختارهاي فوق ريز، سيستم‌هاي کوانتومي ناميده مي‌شوند و ازآنجا که اغلب خواص فيزيکي يک سيستم به ابعاد آن وابسته است انتظار مي‌رود که خواص فيزيکي اين ساختارهاي فوق ريز نسبت به ساختار کپه‌اي10 کاملا متفاوت باشد. در سال‌هاي اخير مطالعات بسياري در زمينه‌ي بررسي خواص فيزيکي اين ساختارها بهصورت تجربي و نظري صورت گرفته است. بررسي اين ساختارهاي کوانتومي نه تنها به خاطر خواص الکتروني و اپتيکي جالب آنها، بلکه به علت کاربردشان در قطعات الکترونيکي و ابزارهاي نوري توجه بسياري را به خود جلب کرده است] 6-3[.
با اعمال پتانسيل محدودکننده بر اين ساختارها که به کمک ساختاري با گاف انرژي متفاوت به وجود مي‌آيد و با کاهش ابعاد اين مواد در يک، دو و سه بعد به چاه کوانتومي دو بعدي، سيم کوانتومي شبه يک بعدي و نقاط کوانتومي شبه صفر بعدي خواهيم رسيد. به اين اثر، اندازه کوانتومي گفته مي‌شود.اثر اندازه کوانتومي در ابعاد پايين به صورت تئوري و تجربيمطالعه شده است. همچنين تحقيقات روي ساختارهاينيم‌رسانابا حضور ناخالصي بسيارمهم است زيرا خصوصيات اپتيکي و الکتريکي و گرمايي آن‌ها را تحت تأثير قرار مي‌دهد. کنترل بي‌نظير روي پارامترهاي اساسي اين ساختارها قطعاتي با کارايي بالا، از جمله انواع ليزرهاي چند ساختاري دوتايي، ترانزيستورها و غيره را به وجود آورده است.
چاه‌هاي کوانتومي و ابر شبکه‌ها
روش‌هاي جديد رشد بلور مانند برآرايي باريکه‌ي مولکولي، لايه‌گذاري بخار شيميايي آلي- فلزي و غيره امکان توليد ساختارهايي با اندازه‌هاي کاملا قابل تنظيم از نيم‌رساناها را فراهم ساخته است.
به اين دليل که اغلب اندازه‌ي اين ساختارها از مرتبه نانومتر است، آنها را نانو ساختار ناميده‌اند. چاه کوانتومي نمونه‌اي از اين ساختارهاي کوانتومي است. در اين ساختار حرکت حامل‌هاي بار در يک راستا محدود است و در دو راستاي ديگر هيچ محدوديتي به حرکت حامل‌هاي بار اعمال نمي‌شود.در يک چاه کوانتومي يک لايه نازک از ماده ي A با گاف انرژي کوچکتر بين دو لايه ضخيم‌تر از ماده B با گاف انرژي بزرگتر قرار مي‌گيرد(شکل(1-1)). اين امر سبب ايجاد محدوديت بر حرکت حامل‌ها مي‌شود. اين محدوديت، سبب تغيير ساختار نواري و چگالي حالت‌ها نسبت به حالت کپه‌اي مي‌شود.براي ملاحظه‌ي اثرهاي کوانتومي درچاه کوانتومي، ضخامت نيم‌رساناي با گاف کوچکتر بايد از مرتبه‌ي طول موج دوبروي11 الکترون بوده ويا از پويش آزاد ميانگين12 آن‌ بسيار کوچکتر باشد.با ادامه‌ي رشد لايه‌ها روي هم چاه‌هاي کوانتومي چندتايي نتيجه مي‌شود.
شکل‏1-1 نمايي ساده ازيک چاه کوانتومي(چپ) ونموداري تقريبي از چگالي حالت‌هاي چاه کوانتومي(راست(
يکي ديگراز ساختارهاي مهم لايه‌هاي نازک ابرشبکه13 ها هستند. در دهه‌ي1970 ايساکي وتسو پيشنهاد ساخت ساختارهايي متشکل از لايه هاي نازک متناوب از دو ماده‌ي AوBبا گاف انرژي متفاوت را دادند و نام آن را ابرشبکه ناميدند]11-10[. ابر شبکه‌ها مجموعه اي از چاه‌هاي کوانتومي باارتفاع سد پتانسيل محدود هستند، که به طور تناوبي رشد داده شده‌اند .
در چاه کوانتومي چندتايي فاصله‌ي لايه‌هاي ماده‌يA آنقدر هست که جلوي تونل زني از يک چاه به چاه ديگر رابگيرد . اما در ابرشبکه‌ها پهناي سد کم است و الکترون اين لايه هاي تناوبي را به صورت يک پتانسيل دوره‌اي علاوه بر پتانسيل دوره‌اي بلور مي‌بيندو الکترون با احتمال بيشتري تونل زني مي‌کند.
سيم هاي کوانتومي
با توجه به پديده‌هاي فيزيکي جديدي که چاه‌هاي کوانتومي از خود بروز مي‌دهند وکاربردهاي فراوان آن‌ها ازجمله ابزارهاي الکترونيکي و اپتيکي که به کمک آن‌ها ساخته مي شود، محققان بر اين شدند تا براي افزايش کارايي،دستگاه‌هايي با ابعاد کمتر يعني سيستم‌هاي يک بعدي (سيم کوانتومي) و صفر بعدي (نقطه‌ي کوانتومي) را مورد مطالعه قرار دهند. در دهه‌ي 1980 مطا‌لعه‌ي سيستم‌هاي شبه يک بعدي آغاز شد]13-12[.
شکل‏1-2 نمايي ساده از يک سيم کوانتومي(چپ) و نموداري تقريبي از چگالي حالت‌هاي سيم کوانتومي(راست(
سيم کوانتومي ساختاري است با ضخامت يا قطري در اندازه‌ي‌ ده‌ها نانومتر يا کمتر و طولي نا‌محدود. در اين مقياس اثرات مکانيک کوانتومي اهميت پيدا مي کنند. در چنين ساختارهايي حرکت حامل‌هاي بار در دو جهت محدود مي‌باشد و تنها در راستاي محور سيم به طور آزادانه حرکت مي‌کنند. يک سيم کوانتومي، يک ساختار نازک و بلند از ماده A با گاف انرژي کوچکتر مي‌باشد که با پوشش ضخيمي از ماده B با گاف انرژي بزرگتر احاطه شده است. محدوديت بيشتري که بر حرکت حامل‌ها در يک سيم کوانتومي نسبت به چاه کوانتومي وارد مي‌شود باعث جايگزيدگي بيشتر حامل‌ها و در نتيجه، گسستگي بيشتر نوارهاي انرژي مي‌شود و چگالي حالت‌ها هم تغيير مي‌کند(شکل(1-2)).
نانو سيم‌ها انواع مختلفي دارند، از جمله: نانو سيم‌هاي فلزي (مثلNi،PtوAu)، نانو سيم‌هاي نيم‌رسانا (مثلSiInPوGaN)،نانوسيم‌هاي نارسانا(مثلTiO2وSiO2) ونانوسيم‌هاي مولکولي که از واحد‌هاي مولکولي تکرارشونده ارگانيک يا غيرارگانيکساخته مي‌شوند. نانو‌سيم‌هاي کوانتومي کاربرد‌هاي بسياري دارند، از جمله ساخت وسايل مغناطيسي،نشانگرهاي بيولوژيکي، سنسورهاي شيميايي.

نقاط کوانتومي
شکل‏1-3 نمايي ساده از يک نقطه کوانتومي(چپ) و نموداري تقريبي از چگالي حالت‌هاي نقطه کوانتومي(راست(
حد نهايي محدوديت کوانتومي، در ساختارهاي شبه صفر بعدي رخ مي‌دهد که در آن حامل‌هاي بار در هر سه جهت فضايي محدوديت حرکت دارند]14[. اين محدوديت فضايي سبب کوانتيدگي ترازهاي انرژي در نوار رسانش وظرفيت شده و خصوصيات فيزيکي اين سيستم‌ها را دگرگون مي‌سازد.
اولين بار در سال 1932 نقطه‌هاي کوانتومي با آلايش نانوکريستال‌هاي نيم‌رسانا در شيشه گزارش شد. در آن زمان براي توليد شيشه‌هاي رنگي از مواد نيم‌رسانا مانند روي سولفيد (ZnS) و روي سلينيوم (ZnSe) در شيشه هاي معمولي استفاده مي‌شد]15[. در اين سال روکسباي ]16[ رنگ قرمز و يا زرد مشاهده شده از برخي شيشه‌هاي سيليکوني را به ساختارهاي ريز CdSeوCdS واقع در آن نسبت داد و پس از آن در سال 1985 مشاهده شد که تغييرات در رنگ به ترازهاي انرژي ناشي از محدوديت نقطه‌هاي کوانتومي CdSe و CdSمربوط است.
با پيشرفت تکنولوژيبرآرايي باريکه‌ي مولکولي به عنوان يک تکنولوژي برتر در زمينه‌ي رشد نقطه‌هاي کوانتومي در مواد مختلف، پژوهش‌هاي آزمايشگاهي در مورد نقطه‌هاي کوانتومي به‌طور چشمگيري افزايش يافت]28-17[. در سال 1995 هم نقطه‌هاي کوانتومي خودسازمان‌يافته ساخته شدند]29[.
امروزه از روش‌هاي گوناگوني براي توليد نقطه‌هاي کوانتومي استفاده مي‌شود، که از جمله‌ي‌‌‌‌‌‌‌‌آن‌ها مي‌توان به آلايش نانوکريستال‌هاي نيم‌رسانا در شيشه، ليتوگرافي نوري و الکتروني، روش‌هاي سل-ژل، ايجاد افت وخيز بر سطح چاه‌هاي کوانتومي و چاه‌هاي کوانتومي تحت تنش اشاره نمود.
به دليل محدوديت فضايي سه‌بعدي، چگالي حالت‌هاي نقطه‌هاي کوانتومي کاملا گسسته و اتم‌وار مي‌باشد(شکل(1-3)). ترازهايانرژي نقطه کوانتومي به شدت به شکل،ترکيب، اندازه و پتانسيل محدودکننده بستگي دارد و مزيت نقاط کوانتومي اين است که به دليل امکان کنترل اين پارامترهاي اساسي، مي‌توان کنترل دقيقي روي خواص الکتروني واپتيکي ماده داشت.
مطالعات انجام شده نشان مي‌دهد که کاهش اندازه، افزايش قابل توجه خواص غيرخطي اين سيستم‌ها را به دنبال دارد. بنابراين مطالعه‌ي خواص غيرخطي سيستم‌هاي کوانتومي نيم‌رسانا، شامل اثرات اندازه و شکل نقطه، ارتفاع و شکل پتانسيل و همچنين اثر ميدان‌هاي الکترومغناطيسي خارجي بر تغييرات ضريب جذب14 و ضريب شکست15 نوري توجه بسياري از پژوهشگران را به خود جلب کرده است.
يکي از مهمترين خصوصيات سيستم‌هاي کوانتومي،گذارهاي نوري بين زيرنواري در نوار ظرفيت ونوار‌‌ رسانش است. خصوصيات اپتيکي غيرخطي مربوط به اين گذارها در نقاط کوانتومي نسبت به ساختارهايي با ابعاد بيشتر(سيم کوانتومي و چاه کوانتومي) افزايش مي‌يابد]34-30[.
بسته به روش رشد و شرايط محيط رشد، اين نقاط اشکال گوناگوني به خود مي‌گيرند. به عنوان مثال نقطه‌هاي کوانتومي که در روش سل-ژل يا آلايش ايجاد مي‌شوند، اغلب در شکل‌هايي مانند کره]37-35[، بيضي‌گون]40-38[، عدسي شکل]41[ و شبيه به اين‌ها ظاهر مي‌شوند. در صورتي که نقطه‌هايي که در سطح چاه‌هاي کوانتومي ايجاد مي‌شوند، اغلب هرمي]46-42[ يا نيم‌عدسيشکل]50-47[مي‌باشند.
براي مطالعه‌ي خصوصيات فيزيکي نقطه‌هاي کوانتومي بايد معادله‌ي شرودينگر را با شرايط مرزي مناسب در اين سيستم‌ها حل نمود. براي حل معادله‌ي شرودينگر در اين ساختار به طور معمول از تقريب جرم موثر16 براي نوار رسانش و ظرفيت استفاده مي‌شود. معادله‌‌ي شرودينگر فقط در سيستم‌هاي خاصي مانند نقطه‌ي کوانتومي کروي با پتانسيل پله‌اي يا سهموي جواب تحليلي داشته و در بقيه موارد بايد با روش‌هاي عددي و يا تقريبي مسئله را حل نمود. در بيشتر پژوهش‌هاي نظري، نقطه کوانتومي را کروي در نظر گرفته، سپس خواص فيزيکي را مورد مطالعه قرار مي‌دهند]53-51[.پتانسيل پله‌اي به دليل شکستگي لبه‌ها و غيرفيزيکي بودن،هم‌خواني لازم را با واقعيت ندارد. در واقع براي نقطه‌ي کوانتومي مرز تيز و مشخصي وجود ندارد. بنابراين انتظار مي‌رود با انتخاب پتانسيل‌‌هاي يکنواخت و داراي انحناي بيشتر، نتايج قابل قبول‌تري به دست آيد. با توجه به اينکه خواص نقاط کوانتومي وابستگي شديدي به پتانسيل محدود کننده‌ي آن‌ها دارد، مطالعات بسياري جهت محاسبه‌ي اين وابستگي در شکل‌ها وپتانسيل‌هايمختلف صورت گرفته است]57-54[. نقاط کوانتومي به علت خواص الکتريکي واپتيکي منحصر به فرد در ساخت وسايل اپتوالکترونيکي، مانند ليزرهاي ديودي بسيار مورد توجه واقع شده‌اند.
تقريب جرم موثر
يکي از تقريب هاي بسيار مفيد وکارآمد دربررسي ساختار الکتروني جامدات، تقريب جرم مؤثر بوده که از ديرباز مورد استفاده قرار گرفته است.مي‌توان نشان داد که در يک بلور الکترون‌ها وحفره‌ها نسبت به ميدان‌هاي الکتريکي ومغناطيسي اعمالي، طوري واکنش مي دهند که گويي آن‌ها ذراتي هستند که جرمشان وابسته به جهت حرکت آن‌هاست.به اين جرم، تانسور جرم موثر گفته مي‌شود.
با فرض همسانگرد بودن بلور،حامل‌هاي بار رفتاري شبيه به ذره‌ي آزاد در خلأ اما با جرمي متفاوت دارند.الکتروني که دريک جامد حرکت مي‌کند به دليل پتانسيل تناوبي که حس مي‌کند، رفتاري متفاوت با رفتار الکترون آزاد خواهد داشت. براي اين الکترون مي‌توان اثر برهم‌کنش با پتانسيل تناوبي و يا نيروي خارجي را به اين صورت در جرم الکترون وارد نمود:
(1-1) E=(?^2 k^2)/?2m?^*
کهm^*جرم مؤثر الکترون است.
اگر الکترون آزادي داشته باشيم، انرژي کل فقط شامل انرژي جنبشي است و رابطه‌ي آن با k بردار موج و pتکانه به اين صورت است:
(1-2) E=(?^2 k^2)/?2m?_0 = p^2/?2m?_0
که m_0 جرم الکترون آزاد است.
سرعت واقعي يک ذره، سرعت فاز بسته موج است،که به آن سرعت گروه مي‌گويند ورابطه‌ي آن با انرژي و تکانه به صورت زير است:
(1-3) v_g=dE/dp=1/? dE/dk
فرض مي‌کنيم که نيرويي غير از نيروي مربوط به پتانسيل دوره‌اي بلور به بسته‌ي موج اعمال شود.کار انجام شده روي بسته‌ي موج به اين صورت است:
(1-4) dE=Fdx=Fv_g dt
با استفاده از رابطه‌ي(1-3)مي‌توانيم عبارتي براي نيرو بدست آوريم.
F=1/v_g dE/dt=1/v_g dE/dk dk/dt
(1-5) F=d(?k)/dt
باگرفتن مشتق زماني از(1-3)شتاب به‌دست مي‌آيد.
(1-6) a=(dv_g)/dt=1/? d/dt (dE/dk)=1/?^2 ((d^2 E)/(dk^2 )) d(?k)/dt
در نهايت جرم مؤثر به اين صورت بدست مي‌آيد:
(1-7) F=m^* (dv_g)/dt
(1-8) m^*=1/(1/?^2 ((d^2 E)/(dk^2 )) )
معادله(1-7)همان قانون دوم نيوتون است؛با اين تفاوت که جرم مؤثر به جاي جرم واقعي ذره گذاشته شده است.در بسياري ازنيم‌رساناها تعيين شکل سطوح انرژي نوارهاي ظرفيت و رسانش، در نزديکي لبه هاي نوار به کمک تشديد سيکلوتروني امکان پذيربوده‌است وتعيين شکل اين سطوح معادل با تعيين تانسور جرم مؤثر است]58[.

هدف
هدف از اين پژوهش، بررسي و مقايسه‌ي خواص نوري خطي و غيرخطي نقاط کوانتومي با مدل‌هاي مختلف پتانسيل محدودکننده است. براي اين منظور از نرم‌افزارکامسول جهت محاسبه‌ي ساختار انرژي نقطه‌هاي کوانتومي استفاده مي‌شود. در فصل دوم، به معرفي مختصر از نرم‌افزار کامسول مي‌پردازيم. در فصل سوم، ابتدا جواب‌هاي تحليلي و عددي ساختار انرژي را براي پتانسيل‌ها‌ي ارائه شده مقايسه مي‌کنيمتا به دقت روش عددي به کار برده شده پي ببريم. سپسطيف انرژي مدل‌هاي مختلف پتانسيل نقطه‌ي کوانتومي کرويرا که با روش عددي (نرم‌افزار کامسول) حساب شده است با هم مقايسه مي‌کنيم.
در فصل چهارم، با بهره‌گيري از قوانين حاکم بر مکانيک کوانتومي و با استفاده از فرماليسم عملگر چگالي، پذيرفتاري الکتريکي، ضريب جذب و تغييرات ضريب شکست خطي و غيرخطي مرتبه‌ي سوم را براي يک سيستم دوترازه، به‌دست مي‌آوريم و در نهايت در فصل پنجم اين خصوصيات را براي مدل‌هاي پتانسيل ارائه شده به دست آورده ونتايج را با هم مقايسه مي‌کنيم.
فصل دوم
معرفي نرم افزار COMSOL Multiphysics
مقدمه
با توجه به توسعه و پيشرفت فرايندهاي جديد در علوم و مهندسي، مدل‌سازي در اين علوم از اهميت ويژه‌اي برخوردار مي‌باشد. ترکيب کارهاي آزمايشگاهي با تجزيه و تحليل‌هاي تئوري در مدل‌هاي کامپيوتري باعث افزايش فهم مطلب گشته و همچنين هزينه را براي بررسي فرايندهاي جديد کاهش داده است.
نرم‌افزار COMSOLMultiphysics محيطي پرقدرت براي مدل‌سازي و حل مسائل مختلف فيزيکي بر مبناي معادلات ديفرانسيل پاره‌اي (PDEs) مي‌باشد.براي حل اين معادلات،کامسول از روش المان محدود (FEM)17 استفاده مي‌کند. اين نرم‌افزار، آناليز المان محدود را همراه با ساخت شبکه‌ي قابل تطابق وکنترل خطا، با استفاده از Solver هاي عددي مختلف انجام مي‌دهد.
معادلات ديفرانسيل پاره‌اي مبنايي براي مدل سازي وحل گستره‌ي وسيعي از پديده‌هاي علمي ومهندسي به شمار مي‌رود.بنابراين ازCOMSOL Multiphysics درمحدوده‌ي گسترده‌اي از فيزيک مي‌توان استفاده کرد.از جمله:صوت، الکترومغناطيس، ديناميک سيالات، فوتونيک،انتقال حرارت ومکانيک کوانتومي.
يکي از مواردي که مي‌توان از اين نرم‌افزار استفاده کرد، حل معادله‌ي شرودينگر است. معادله‌ي شرودينگر، يک معادله‌ي ديفرانسيل ويژه مقداري مرتبه دوم است که با شرايط مرزي مناسب قابل حل مي‌باشد. روش‌هاي تحليلي تنها براي بعضي از اشکال و پتانسيل‌هاي محدودکننده قابل استفاده است. در بقيه موارد از روش‌هاي عددي مي‌توان بهره جست.
محيط نرم‌افزار COMSOL Multliphysics
در اين بخش به توصيف قسمت‌هاي مهم و مراحل مدل‌سازي در محيط COMSOLMultiphysicsمي‌پردازيم.
مراحل شبيه‌سازي را مي‌توان به 6 مرحله‌ي کلي تقسيم‌بندي کرد:
تعريف معادلات حاکم بر فرايند و انتخاب بعد فضايي سيستم
تعريف هندسه‌ي سيستم
تعيين شرايط مرزي
تعيين خصوصيات فيزيکي و شرايط عملياتي سيستم
ساخت شبکه و حل سيستم مورد بررسي
پردازش پاسخ‌ها
در ابتدا بسته به مسئله‌ي مورد بررسي، ابعاد و هندسه‌ي سيستم و نوع Solverبايد مشخص شود.کامسول با solverهاي مختلف اقدام به حل مدل مي‌کند. خود نرم‌افزار به طور خودکار بهترين Solver را با توجه به شرايط و هندسه مورد بررسي انتخاب مي‌نمايد. با اين وجود امکان انتخاب و تعيين آن وجود دارد. Solver هاي مختلفي که براي حل معادلات پاره‌اي توصيف کننده مدل‌ها استفاده مي‌شوند به اين شرح است: حالت پايا، وابسته به زمان، ويژه‌مقداري و پارامتري.
تعيين ابعاد و هندسه
سيستم‌هاي مختصاتي و ابعاد فضايي در COMSOL Multiphysics 3/4عبارتند از:
مدل‌هاي با بعد فضايي يک بعدي ، دو بعدي و سه بعدي سيستم‌هاي مختصاتي x،y و z را بکار مي‌برند.
در اشکال هندسي متقارن محوري يک بعدي ، مختصات پيش‌فرض rجهت شعاعي است و محور x مبين r مي‌باشد.
در اشکال هندسي متقارن محوري دو بعدي ، محور x مبين جهت شعاعيr و محور yمبين ارتفاع zاست.
بعد از تعيين ابعاد و هندسه سيستم، ضرايب معادلات ديفرانسيل را با توجه به ابعاد مسئله و مختصاتي که مسئله در آن حل مي‌شود، به دست آورده و در قسمت coefficient form PDE جايگذاري مي‌کنيم.
بسته به نوع مسئله شرايط مرزي مناسب را براي مرزهاي هندسه انتخاب مي‌کنيم. براي مسئله‌ي ما (معادله‌ي شرودينگر) شرايط مرزي، پيوستگي تابع موج و مشتق آن در مرزها و ميل تابع موج به صفر در فاصله‌هاي دور از نقطه کوانتومي است.
شکل‏2-1 نمايي ازشبکه بندي هندسه در نرم افزار کامسول
ساخت شبکه (meshing)
تقسيم‌بندي هندسه‌ي مدل مورد بررسي به اشکال کوچک و ساده ، شبکه بندي ناميده مي‌شود. با تکميل شدن مرحله‌ي تعريف هندسه سيستم مورد بررسي و تعيين خصوصيات و شرايط مرزي سيستم، بايد هندسه مورد نظر، شبکه‌بندي شود. اين عمل مي‌تواند به صورت خودکار توسط خود نرم‌افزار يا با تعيين مشخصات و نوع آن توسط کاربر انجام مي‌گيرد. شکل(3-1) شبکه بندي يک مدل را در هندسه‌ي متقارن دو بعدي نمايش مي‌دهد.
در مواردي که حل همگرا نمي‌شود يا در مواردي که به نظر مي‌رسد که نتيجه مطلوب نيست، بايد مدل را با المان‌هاي ريزتري مجددا حل نمود.در اين مرحله نرم‌افزار آماده حل مدل است.
شکل‏2-2 نمايي از نمودارهاي سه بعدي. ازابزارهاي نرم افزار کامسول براي رسم و پردازش داده‌ها
مرحله‌ي پس‌پردازش(Post processing)
در اين قسمت، نرم‌افزار ابزار مختلفي براي رسم و پردازش مقادير يا پارامترها در اختيار کاربر قرار مي‌دهد. ابزاري مانند: نمودارهاي دو بعدي، سه بعدي، نمودارهاي کانتوري و انتگرال‌گيري سطحي و حجمي روي دامنه‌ها و مرزها. (شکل(2-2))
حل معادله‌ي شرودينگر در کامسول
براي محاسبه ي حالت هاي الکتروني نقطه ي کوانتومي بايد معادله ي شرودينگر تک ذره اي را در تقريب جرم مؤثر حل کرد.
(2-1) -?^2/2 (??1/(m^* (r) ) ??(r ? ))+V(r))?(r ? )=E?(r ? )
که ?=h/2? ثابت پلانک کاهش يافته، ?(r ?) تابع موج وE ويژه مقدار انرژي است وm^* (r ? ) جرم مؤثر الکترون است که مقادير آن برايGaAs و ?Al?_x ?Ga?_(1-x) As متفاوت مي باشد.
V(r) تابع پتانسيلي است که ذره تحت تأثير آن قرار داردو تنها به فاصله از مبدأ بستگي دارد و بنابراين در مسئله، تقارن سمتي وجود دارد. چنين مسائلي را در کامسول مي‌توان با هندسه متقارن محوري دوبعدي (مختصات استوانه‌اي) حل نمود.
در مختصات استوانه‌اي به دليل تقارن سمتي مي‌توان تابع موج را به اين صورت جداسازي کرد:
(2-2) ?(?,?,z)=?(z,?)?(?)
که ? زاويه سمتي و ? فاصله تا محور z است.
حال معادله شرودينگر را در مختصات استوانه‌اي مي نويسيم.
(2-3) -?^2/2 [?/?z (1/m^* ??/?z)+1/? ?/?? (?/m^* ??/??)]?-?^2/2 ?/(m^* ?^2 ) (d^2 ?)/(d?^2 )+V??=E??
دو طرف معادله را بر رابطه‌ي?(z,?)/(m^* ?^2 ) ?(?)تقسيم مي کنيم
دو طرف معادله به دست آمده به متغيرهاي مختلفي بستگي دارند و بنابراين، با مقدار ثابتي، که آن را m^2 مي ناميم برابرند.
(2-4) 1/? (d^2 ?)/(d?^2 )=-m^2
و
(2-5) m^* ?^2 ?^2/2 [?/?z (1/m^* (??_m)/?z)+1/? ?/?? (?/m^* (??_m)/??)] 1/?_m -m^* ?^2 [V-E]=?^2/2 m^2
جواب معادله‌ي (4-2)?=e^(?im?) استکه با شرط تناوبي ?(?+2?)=?(?) به اين نتيجه مي‌رسيمکه m يک عدد صحيح مي‌باشد.پس فقط حل معادله دوم مي‌ماند که مي‌توان به اين صورت بازنويسي کرد:
(2-6) -?^2/2 [?/?z (1/m^* (??_m)/?z)+1/? ?/?? (?/m^* (??_m)/??)]+(?^2/(2m^* ) m^2/?^2 +V) ?_m=E_m ?_m,
اين معادله مثالي از معادلات ديفرانسيل جزئي با ضرايب است که به اين صورت نوشته مي‌شود.
(2-7) ??(-c?u-?u+?)+au+???u=d_a ?u

و در آن ?=[?/?z,?/??]
ضرايب غير صفر اين معادله به اين صورت مي‌باشد:
c=?^2/(2m^* ) , a=?^2/(2m^* ) m^2/?^2 +V, ?_?= -?^2/(2m^* ) 1/?, d_a=1, ?=E_m
با جايگذاري ضرايب در نرم افزار و اعمال شرايط مرزي مناسب، ويژه مقادير و ويژه حالت‌هاي انرژي براي نقطه‌ي کوانتومي کروي براي پتانسيل‌هاي مختلف بدست مي‌آيد.
فصل سوم
ساختار انرژي نقاط کوانتومي با مدل‌هاي مختلف
در اين فصل ابتدا پارامترهاي اساسي مربوط به گاليم آرسنايد را مرور مي‌کنيم و سپسبه محاسبه‌ي ويژه مقادير انرژي حالت پايه نقاط کوانتومي کروي شکل با پتانسيل هاي مختلف مي‌پردازيم و جواب‌هاي تحليلي را با مقادير محاسبه شده توسط نرم افزارکامسول مقايسه مي کنيم.
گاليم آرسنايد
گاليم آرسنايد يک نيم‌رسانايترکيبي ازگروه‌هاي 3-5است.اين ماده به طور فزاينده‌اي درفن‌آوري امروزي اهميت پيدا کرده است. ترانزيستورهاي ساخته شده از GaAs از مدت زمان پاسخگويي کمتري نسبت به ترانزيستور‌هاي سيليکوني برخوردار هستند.
گاليم آرسنايد داراي دو اتم مختلف در موقعيت‌هاي(0, 0, 0) و(1/4 ,1/4 ,1/4) است. اينساختار از دو شبکه‌ي ميان‌وجهي که در امتداد]1،1،1[ از يکديگر به اندازه‌ي يک چهارم قطر جدا شده‌اند ، تشکيل شده است.GaAs يک نيم‌رساناي گاف مستقيم با ثابت شبکه‌ي 5653/0 نانومتر مي‌باشد. در جدول صفحه‌ي بعد برخي از پارامتر‌هاي GaAs و?Al?_x ?Ga?_(1-x) Asبراي دماي اتاق آمده است]60-59[.
جدول 3-1 پارامتر‌هاي اساسي GaAs و ?Al?_x ?Ga?_(1-x) As
نامعلامت اختصاريGaAs?Al?_x ?Ga?_(1-x) Asجرم موثر
الکترونm^*0/632m_0(0/632+0/856x+0/231x^2 ) m_0گاف انرژيE_g1/423ev(1/423+1/594x+x(1-x))ثابت
دي الکتريک?13/1813/18-3/12x
x کسر مولي آلومينيوم (0>x>1)، m_0 جرم الکترون است.
محاسبه‌ي انرژي نقطه‌ي کوانتومي کروي
پتانسيل بي‌نهايت
(3-1) V(r)={?(0 r? R @? r?R



قیمت: تومان


پاسخ دهید